Sabtu, 17 Desember 2011


Trigonometri bagian 2-sudut istimewa

Nilai trigonometri suatu sudut bisa Anda temukan menggunakan kalkulator atau dari tabel trigonometri. Ada beberapa sudut dalam trigonometri yang tergolong istimewa, artinya bisa diperoleh secara mudah.
Sudut 45o
sudut-istimewa-1
Lihat persegi di atas. Panjang sisinya tidak masalah karena trigono berurusan dengan perbandingan. Sudut DAB 90o yang berarti sudut CAB setengahnya, 45o.
Dari gambar itu kita peroleh
sin 45^0 = \frac{1} {\sqrt{2}} cos 45^0 = \frac{1} {\sqrt{2}}
tan 45^0 = 1
Sudut 30^o dan 60^o
sudut-istimewa-2
Pencarian sudut 30^0 dan 60^0  sedikit lebih panjang. Kita mulai dengan segitiga sama sisi. Panjang aktual setiap sisi tidak masalah karena nilai trigonometri berkaitan dengan perbandingan, tapi untuk memudahkan perhitungan kami asumsikan panjang semua sisi 2. Karena semua sisinya sama panjang tentu ketiga sudutnya pun sama. Kita juga tahu bahwa jumlah ketiga sudut segitiga pasti berjumlah 180^0 . Dengan sedikit perhitungan sederhana kita peroleh bahwa besar sudut setiap sisi 60^0 .
sudut A+ sudut B + sudut C = 180^0
sudut A = sudut B = sudut C = 60^0
sudut-istimewa-3
Jika segitiga ini kita bagi 2 maka kita peroleh bentuk kedua di atas. Sudut menjadi 30^0 , setengah dari semula. Dengan rumus phytagoras kita peroleh juga panjang semua sisi seperti di atas.
Dari definisi trigonometri kita peroleh:
sin 30^0 = \frac{1}{2} cos 30^0 = \frac{\sqrt{3}}{2} tan 30^0 = \frac{1} {\sqrt{3}} sin 60^0 = \frac{\sqrt{3}}{2} cos 60^0 = \frac{1}{2} tan 60^0 = \sqrt{3}




MATRIKS
Bentuk umum suatu matriks adalah :
A = mn2m1mn22221n11211a::::aa::::::::::a::::aaa::::aa
Matriks A diatas memuat m baris dan n kolom, disebut berordo m x n.
Transpos suatu matriks
Transpose suatu matriks A ditulis At adalah matriks dengan menukar elemen-elemen pada baris A dengan elemen-elemen pada kolomnya
Kesamaan dua matriks
A = B  1. Ordo A = Ordo B
2. elemen-elemen yang seletak nilainya
Operasi Jumlah
C = A + B  1. Ordo C = Ordo A = Ordo B
2. ci,j = ai,j + bi,j; i  baris dan j  kolom
Sifat operasi penjumlahan
1. Komutatif : A + B = B + A
2. Asosiatif : (A + B ) + C = A + (B + C)
3. Ada matriks 0 sehingga A + 0 = 0 + A = A
4. Ada matriks A sehingga A + (A) = 0
5. (A+ B)t = At + Bt
Definisi A  B = A + (B)
Catatan Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya 0.
Matriks A diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan 1.
Perkalian dengan konstanta
C = k A  1. k bilangan real, A dan C matriks berordo sama
2. ci,j = k ai,j; i  baris dan j  kolom
Sifat perkalian dengan konstanta
p dan q bilangan real, A dan B matriks, maka
(p + q) A = p A + q A
p ( A + B) = p A + p B
p (q A ) = ( p q) A
Operasi Kali
C = A B  1. Cm x n = B mxpApxn
Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
2. = ++ … + ijc1iaj1b2iaj2bipapjb
Sifat-sifat operasi kali
1. Tidak komutatif: A B  B A
2. Asosiatif: (A B) C = A (B C)
3. Distributif A (B + C) = A B + AC
4. Ada matriks Identitas sehingga A I = I A = A
5. Jika A B = 0, belum tentu A = 0 atau B = 0
6. Jika A B = A C maka belum tentu B = C
7. (A . B)t = Bt At
Catatan Matriks Identitas adalah matriks ordo n x n (atau bujursangkar) yang semua elemen diagonal a11 = a22 = …= ann = 1 dan elemen lainnya nol
Determinan
Determinan matriks A ditulis sebagai det(A) atau A.
1. A =  A=a11 a22 a12 a21 
22a21a12a11a
2. A = 33a32a31a23a22a21a13a12a11a
A=a1133a32a23a22aa1233a31a23a21a+a13 32a31a22a21a
Cara lain adalah dengan metode Sorrus
A = 323122211211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaa
= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32)
 (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32)


Sifat
det (A B) = det(A) det (B)
det (A + B)  det(A) + det(B)
A ordo nxn  det(k A) = kn det(A)
det (At) = det(A)
det ( A1 ) = Adet1
Invers Matriks
Invers dari matriks A ditulis A1 dan didefinisikan sebagai berikut
A1 invers A  1. A matriks ordo n x n
2. A A1 = A1 A = I
Irvan Dedy Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna
A =  A1 = 
dcbaA1 acbd
Sifat Invers matriks
1. A = B1  B = A1
2. (A1)1 = A
3. (A B )1 = B1 A1
A B = C  A = C B1
A B = C  B = A1 C
Ketiga kalimat berikut mempunyai pengertian sama
1. A singular
2. A tidak punya invers
3. det A = 0





Notasi
    Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi blog a daripada logba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi logba
    Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti elog a, log a sebagai ganti 10log a dan ld a sebagai ganti 2log a.
    Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e.
    Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++,Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e.
    Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada 10log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada elog x.

Mencari nilai logaritma
Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:
    Tabel
    Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)
 Rumus
Logaritma
ac = b → ª log b = c
a = basis
b = bilangan yang dilogaritma
c = hasil logaritma
Sifat-sifat Logaritma
ª log a = 1
ª log 1 = 0
ª log aⁿ = n
ª log bⁿ = n • ª log b
ª log b • c = ª log b + ª log c
ª log b/c = ª log b – ª log c
ªˆⁿ log b m = m/n • ª log b
ª log b = 1 ÷ b log a
ª log b • b log c • c log d = ª log d
ª log b = c log b ÷ c log a
Kegunaan logaritma

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.
Sains dan teknik
Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.
   Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.
   Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.
    Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
    Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.
Penghitungan yang lebih mudah
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::
Penghitungan dengan angka      Penghitungan dengan eksponen              Identitas Logaritma
\!\, a b \!\, A + B              \!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b)
\!\frac{a}{b}       \!\, A - B               \!\, \log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)
\!\, a ^ b              \!\, A b                 \!\, \log(a ^ b) = b \log(a)
\!\, \sqrt[b]{a} \!\, \frac{A}{b} \!\, \log(\sqrt[b]{a}) = \frac{\log(a)}{b}
Sifat-sifat di atas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.
Kalkulus
Turunan fungsi logaritma adalah
    \frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x}
dimana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi
    \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.
Integral fungsi logaritma adalah
    \int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C
Integral logaritma berbasis e adalah
    \int \ln(x) \, dx= x \ln(x) - x + C\,
Sebagai contoh carilah turunan
   log(x)
Penghitungan nilai logaritma
Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.
  \log_b(x) = \frac{\log_e(x)}{\log_e(b)} \qquad \mbox{ or } \qquad \log_b(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(b)}
Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.
Persamaan linear dua variabel adalah persamaan garis lurus yang mempunyai 2 variabel atau peubah.

Contoh:
   \!3x+\!5y=\!21 → persamaan dengan dua variabel x dan y.
    \!5\alpha+\!4\beta=\!28 → persamaan dengan dua variabel α dan Penyelesaian PLDV
Eliminasi
Eliminasi adalah menghilangkan salah satu variabel.
Contoh: Carilah nilai Δ dan t dari persamaan berikut dengan cara eliminasi.
    \!4\delta+\!3t=\!34
    \!5\delta+\!t=\!41
Untuk mengeliminasi variabel Δ, maka persamaan nomor 1 dikalikan dengan 1 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 3. Kedua persamaan dikurangkan agar variabel t hilang.
4Δ + 3t = 34  | X1  →  4Δ + 3t  = 34
5Δ + t  = 37  | X3  → 15Δ + 3t = 111
                       ______________ -
                      -11Δ      = -77
                         Δ      = 7
Setelah kita mendapatkan nilai Δ yaitu 7, kita akan mencari nilai t.
Untuk mencari nilai t, persamaan nomor 1 dikalikan dengan 5 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 4. Kedua persamaan dikurangi agar variabel Δ hilang.
4Δ + 3t = 34  | X5  →  20Δ + 15t  = 170
5Δ + t  = 37  | X4  → 20Δ +  4t  = 148
                      ______________ -
                             11t  = 22
                         t        = 2

Jadi Δ = 7 dan t = 2.
Substitusi
Substitusi adalah menggantikan salah satu variabel ke persamaan yang lain.
Contoh:
    \!4e+\!3f=\!31
    \!e+\!f=\!11
Karena persamaan nomor 2 lebih sederhana daripada persamaan nomor 1 maka persamaan nomor 2 diubah menjadi:
\!f=\!11-\!e\dots
Masukkan persamaan berikut hingga menjadi:
\!4e+\!3f=\!31
4e + 3(11 - e) = 31
4e +  33 - 3e  = 31
            e  = 31 - 33 
            e  = -2



2. Rumuskan hasil belajar anda sesuai standar bukti belajar yang telah
ditetapkan.
a. Untuk penguasaan pengetahuan, anda dapat membuat suatu ringkasan
menurut pengertian anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan
dengan kompetensi yang pernah anda pelajari. Selain ringkasan anda
juga dapat melengkapi dengan kliping terhadap informasi yang relevan
dengan kompetensi yang sedang anda pelajari.
b. Tahapan pekerjaan dapat anda tuliskan dalam diagram alir yang
dilengkapi dengan penjelasan.
c. Produk hasil praktik kegiatan ini produksi dapat anda kumpulkan berupa
contoh dan bentuk fisualisasinya.
d. Setiap tahapan proses akan diakhiri, lakukanlah diskusi dengan guru
pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal
yang harus dibetulkan maka anda harus melaksanakan saran guru
pembimbing anda.
A. KEGIATAN BELAJAR
1. Kegiatan Belajar 1 (Pernyataan dan Kalimat Terbuka)
a. Tujuan Kegiatan Belajar 1
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat:
1) Membedakan kalimat berarti dan kalimat tidak berarti
2) Membedakan pernyataan dan bukan pernyataan
3) Membedakan pernyataan benar dan pernyataan salah
4) Membedakan kalimat terbuka dan pernyataan
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 1
1) Apakah logika itu?
Perhatikan ilustrasi berikut ini!
Anda adalah seorang siswa SMK yang baru saja lulus sekolah dan
langsung memulai berwirausaha dengan berdagang, yang sebagian
modalnya Anda pinjam dari seorang teman. Anda berjanji, “Bila saya
tidak rugi, saya akan melunasi semua utang saya sesegera mungkin”.
Keadaan berikut ini, yang manakah Anda dapat dikatakan ingkar janji?
i) Anda tidak rugi dan Anda melunasi utang dengan segera
ii) Anda tidak rugi dan Anda tidak melunasi utang dengan segera
iii) Anda melunasi utang padahal anda rugi
iv) Anda melunasi utang dan Anda tidak rugi
Jelas bahwa tanpa logika, kita sering melakukan kesalahan dalam
penarikan kesimpulan.
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kali kita di hadapkan pada suatu
keadaan yang mengharuskan kita untuk membuat suatu keputusan. Agar
keputusan kita itu baik dan benar, maka terlebih dahulu kita harus dapat
menarik kesimpulan-kesimpulan dari keadaan yang kita hadapi itu, dan
untuk dapat menarik kesimpulan yang tepat diperlukan kemampuan
menalar yang baik.
Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik kesimpulan
yang tepat dari bukti-bukti yang ada dan menurut aturan-aturan tertentu.
Lalu apa kaitannya dengan logika?
Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Secara
bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang artinya
kata, ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadi ilmu
pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan
argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip
untuk ,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen,
khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode
matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk
menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan seharihari.
2) Pengertian Pernyataan dan Bukan Pernyataan
Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu kita bahas pengertian
kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan
bahasa yang mengandung arti.
Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi
tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi,
kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang
dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut!
1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam
2. 4 + 3 = 8
3. Frodo mencintai 1
4. Asep adalah bilangan ganjil
Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai
salah, dan keduanya adalah pernyataan. Sementara contoh nomor 3 dan
4 adalah kalimat yang tidak mempunyai arti.
Sekarang perhatikan contoh di bawah ini!
1. Rapikan tempat tidurmu!
2. Apakah hari ini akan hujan?
3. Indah benar lukisan ini!
4. Berapa orang yang datang?
Kalimat di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan
pernyataan.
Catatan:
Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan
sebagainya.
3) Kalimat Terbuka
Perhatikan contoh berikut ini!
1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya
2. seseorang memakai kacamata
3. 2x + 8y ≥ 0
4. x + 2 = 8
Keempat contoh di atas belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat
yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya
ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti
dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan
menjadi sebuah pernyataan.
Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang
belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah
lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta
pembicaraan.
Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi
pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian.
Contoh:
x + 2 = 8
x adalah variabel, 2 dan 8 adalah konstanta, dan x = 6 untuk x∈R
adalah selesaian.
Secara skematik, hubungan kalimat, pernyataan, dan kalimat terbuka
dapat kita rumuskan sebagai berikut:
Rangkaian
kata
Bukan kalimat (bukan
Kalimat:
Kalimat terbuka
kalimat deklaratif
(pernyataan,
proposisi)
kalimat perintah
kalimat tanya
kalimat pengharapan
1
bukan
pernyataan
c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 1
• Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah.
tetapi tidak sekaligus bernilai benar dan salah. Sedangkan kalimat
yang tidak dapat ditentukan nilai benar atau salah disebut bukan
pernyataan.
• Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel (peubah)
sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat terbuka
ini bisa menjadi pernyataan jika variabelnya diganti dengan konstanta
dalam semesta pembicaraan.
d. Tugas Kegiatan Belajar 1
Diskusikan soal-soal LKS 1 dengan anggota kelompok anda, kemudian
presentasikan hasilnya, sesuai dengan yang ditugaskan oleh guru.
e. Tes Formatif 1 (waktu 15 menit)
Di antara kalimat-kalimat di bawah ini, manakah yang merupakan
pernyataan? Jika pernyataan, tentukan benar atau salah!
1. Semua bilangan irasional adalah bilangan real
2. Gunung membeli hijau daun
3. Saya adalah siswa SMK
4.
6
6
6
=
5. Apakah x2 − 25 = ( x −5)( x + 5) ?
6. Ada daun yang tidak berwarna hijau
7. Buktikan 8 + 32 = 8 2 !
8. 12345 habis dibagi 3 dan 5
9. 5x + 2 =15 ; x∈R
10. log 2 adalah bilangan real, tetapi bukan bilangan rasional
f. Kunci Jawaban Tes Formatif 1
1. Pernyataan. Benar
2. Bukan pernyataan (kalimat tidak berarti)
3. Bukan pernyataan (kalimat terbuka)
4. Pernyataan. Benar
5. Bukan pernyataan (kalimat pertanyaan)
6. Pernyataan. Benar
7. Bukan pernyataan (kalimat perintah)
8. Pernyataan. Benar
9. Bukan pernyataan (kalimat terbuka)
10. Pernyataan. Salah
g. Lembar Kerja Siswa 1 (waktu 15 menit)
1. Sebutkan pengertian pernyataan dan bukan pernyataan
2. Buatlah contoh pernyataan dan bukan pernyataan masing-masing 3
buah serta nilai kebenarannya.
3. Sebutkan pengertian kalimat terbuka, cari perbedaannya dengan
dengan pernyataan
4. Buatlah contoh kalimat terbuka minimal 3 buah
2. Kegiatan Belajar 2 (Negasi, Pernyataan Majemuk dan Negasinya )
a. Tujuan Kegiatan Belajar 2
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar 2, Anda diharapkan :
1. Memiliki pemahaman tentang Negasi suatu pernyataan
2. Dapat menjelaskan dan membedakan pengertian Konjungsi,
Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi.
3. Mengetahui nilai kebenaran kalimat Konjungsi, Disjungsi, Implikasi
dan Biimplikasi.
4. Dapat membuat tabel kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan
Biimplikasi.
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2
Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu
pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasioperasi
yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective
logic):
ı : Merupakan lambang operasi untuk negasi
∧ : Merupakan lambang operasi untuk konjungsi
∨ : Merupakan lambang operasi untuk disjungsi
→ : Merupakan lambang operasi untuk implikasi
↔ : Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi
1) Negasi (Ingkaran) Sebuah Pernyataan
Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat
sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu.
“ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran
menggunakan operasi uner (monar) “ ı ” atau “¬”.
Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya ı p salah, dan jika
sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya ı p benar.
Definisi tersebut dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
p ı p
S
B = benar
S = salah
Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta
menentukan nilai kebenarannya!
1. p : kayu memuai bila dipanaskan (B)
ı p : kayu tidak memuai nila dipanaskan (S)
2. r : 3 bilangan positif (B)
ı r : (cara mengingkar seperti ini salah)
3 bilangan negatif
(seharusnya) 3 bukan bilangan positif (S)
2) Pernyataan Majemuk
Pernyatan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dengan
merantgkaikan pernyataan-pernyataan tunggal dengan kata sambung
logika.
Contoh: p ∧ q disebut konjungsi
p ∨ q disebut disjungsi
p→q disebut Implikasi
p↔q disebut biimplikasi
3) Konjungsi ( p ∧ q )
Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua
pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua
pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.
Dengan tabel kebenaran
p q p ∧ q
B B B
B S S
S B S
S S S
Contoh:
1. p : 5 bilangan prima (B)
q : 5 bilangan ganjil (B)
p ∧ q : 5 bilangan prima dan ganjil (B)
2. p : ( )2
−2 = −4 (B)
q : −2 = −2 (B)
p ∧ q : ( )2
−2 = −4 dan −2 = −2 (B)
4) Disjungsi/ Alternasi ( p ∨ q )
Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah
satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua
pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi
seperti ini disebut disjungsi inklusif)
Dengan tabel kebenaran
p q p ∨ q
B B B
B S B
S B B
S S S
Contoh:
1. p : 1 akar persamaan 2 x =1 (B)
q : -1 akar persamaan 2 x =1 (B)
p ∨ q : 1 atau -1 akar persamaan 2 x =1 (B)
2. p : Bogor di Jawa barat (B)
q : Bogor itu kota propinsi (S)
p ∨ q : Bogor di Jawa Barat atau ibu kota propinsi (B)
5) Implikasi/ Kondisional ( p→q )
p→q boleh dibaca: p maka q
q hanya jika p
p syarat perlu untuk q
q syarat cukup untuk p
p disebut anteseden atau hipotesis
q disebut konsekuen atau konklusi
Implikasi p→q bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau
anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika
antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.
Dengan tabel kebenaran
p q p→q
B B B
B S S
S B B
S S B
Contoh:
1. Jika 2× 2 = 4 , maka 4 : 2 = 2 (B)
(B) (B)
2. Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang (B)
(S) (S)
6) Biimplikasi atau Bikondisional ( p↔q )
p↔q boleh dibaca: p jika dan hanya jika q (disingkat “p jhj q”)
jika p maka q, dan jika q maka p
p syarat perlu dan cukup untuk q
q syarat perlu dan cukup untuk p
biimplikasi p↔q bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen
kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika
tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.
Dengan tabel kebenaran
p q p↔q
B B B
B S S
S B S
S S B
Contoh:
1. 2× 2 = 4 jika dan hanya jika 4 : 2 = 2 (B)
(B) (B)
2. 2×4 = 8 jika dan hanya jika 8 : 4 = 0 (S)
(B) (S)
c. Rangkuman :
• Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya ı p salah, dan jika
sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya ı p benar.
• Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua
pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua
pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.
• Disjungsi (Inklusif) dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal
salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua
pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.
• Implikasi p→q bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau
anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika
antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.
• Biimplikasi p↔q bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen keduaduanya
bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak
demikian maka biimplikasi bernilai salah.
d. Tugas Kegiatan Belajar 2
Kerjakan dan diskusikan soal-soal Lembar Kerja 2 secara berkelompok,
kemudian presentasikan hasilnya.
e. Tes Formatif 2 (waktu 45 menit)
1. Benarkah cara mengingkar berikut ini? Jika salah, tunjukkan bagimana
seharusnya!
a) p : 8 +1≥10
ı p : 8 +1≤10
b) p : 2 5 = 25
ı p : 2 5 ≠ 25
c) p : (−2) adalah bilangan negatif
ı p : (−2)adalah bilangan positif
2. Tentukanlah nilai kebenaran dari tiap-tiap konjungsi berikut ini!
Balok dan kubus masing-masing mempunyai 6 buah sisi
5 akar dari persamaan 2 x = 5 dan 5 bilangan real
Sayuran banyak didapat di daerah dingin dan daerah dingin umumnya
berada di dataran tinggi.
3. Buatlah 3 buah pernyataan disjungsi inklusif!
4. Tentukanlah nilai kebenaran dari pernyataan di bawah ini!
a) Jika 10×10 =100 , maka 3×3 = 33
b) Jika India di Afrika, maka Mesir di Asia
c) Jika dalam persamaan kuadrat diketahui D < 0 , maka akar-akarnya
juga nyata
5. Tentukanlah nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
a) 3 2 = 8 jhj 2× 2×2 = 8
b) Bumi mengelilingi matahari jhj matahari berputar pada porosnya
c) 5 bilangan bulat jhj -5 bukan bilangan bulat
f. Kunci Jawaban Tes Formatif 2
1) Nilai kebenarannya:
a) Salah, seharusnya ı p : 8 +1<10
b) Benar
c) Salah, seharusnya ı p : (−2)adalah bukan bilangan negatif
2) Nilai kebenarannya:
a) Benar
b) Salah
c) Benar
3) Contoh pernyataan disjungsi inklusif:
a) Harimau binatang b uas atau kulitnya belang
b) 5 bilangan prima atau ganjil
c) Kera binatang buas atau binatang menyusui
4) Nilai Kebenarannya:
a) Salah
b) Benar
c) Salah
5) Nilai kebenarannya:
a) Benar
b) Benar
c) Salah
g. Lembar Kerja Siswa 2
1) Apakah pernyataan-pernyataan berikut merupakan konjungsi?
a) Hasan dan Husen Anak Kembar
b) Lili dan Lilo siswa SMK
c) Rara dan Rere kakak beradik
2) Tentukan nilai x agar kalimat-kalimat berikut menjadi benar!
a)
1
1
2
x = x − atau 2 + 2 = 4
b) 5x − 2( x + 4) = 0 atau 2 + 2 = 5
c) Jika 3x = 9 , maka 2 x −9 = 0
3) Lengkapilah tabel kebenaran di bawah ini!
a)
p q p→q q→ p p↔q ( p→q) ∧(q→ p)
B B
B S
S B
S S
Apa yang dapat Anda simpulkan dari jawaban pada kolom ke lima dan
keenam dari tabel di atas?
b)
p q ı p ı q p∧ ı q ı p ∨ q ( p∧ ı q)↔(ı p ∨ q)
B B
B S
S B
S S
3. Kegiatan Belajar 3 (Invers, Konvers dan Kontraposisi)
a. Tujuan Kegiatan Belajar 3
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :
1) Memahami pengertian invers, konvers, dan kontraposisi sebuah
implikasi
2) Dapat menunjukkan ekivalensi antara pernyataan implikasi, konvers,
invers, dan kontraposisi
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3
Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataanpernyataan
baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.
Implikasi : p→q
Inversnya : ı p→ı q
Konversnya : q→ p
Kontraposisinya : ı q→ı p
Contoh:
Implikasi : Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas
Inversnya : Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang
buas
Konversnya : Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring
Kontraposisinya : Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak
bertaring
Dengan tabel kebenaran:
p q ı p ı q Implikasi
p→q
Invers
ı p→ı q
Konvers
q→ p
Kontraposisi
ı q→ı p
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
Dari tabel di atas terlihat bahwa implikasi mempunyai nilai kebenaran
sama dengan kontraposisi, dan nvers dengan konvers i. Sehingga dapat
kita katakan bahwa implikasi setara dengan kontraposisi dan invers
setara dengan konvers. Bisa kita tulis:
p→q ≡ı q→ı p
ı p→ı q ≡ q→ p
Catatan:
“ ≡” artinya ekivalen
Contoh:
Buatlah pernyataan yang setara dengan pernyataan: “jika ia benar-benar
mencuri, maka pada saat pencurian harus berada di tempat ini.”
Jawab:
Implikasi setara dengan kontraposisi. Maka pernyataan itu dapat diubah
menjadi, “jika pada saat pencurian tidak berada di tempat itu, maka ia
tidak mencuri.”
c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 3
• Jika diketahui implikasi p→q , maka:
Invers : ı p→ı q
Konvers : q→ p
Kontraposisi : ı q→ı p
• p→q ≡ı q→ı p
• ı p→ı q ≡ q→ p
d. Tugas Kegiatan Belajar 3
Diskusikan soal-soal pada LKS 3 dengan anggota kelompok Anda.
Kemudian presentasikan hasilnya sesuai dengan yang ditugaskan oleh
guru
e. Tes Formatif 3 (waktu 15 menit)
1) Tentukanlah konvers dari pernyataan berikut:
a) Jika Beijing di RRC, maka Tokyo di Jepang
b) Jika SMK mempunyai jurusan RPL, maka SMK mempunyai
laboratorium komputer
2) Tentukanlah invers dari pernyataan berikut:
a) Jika segitiga sama kaki, maka ketiga sudutnya sama
b) Jika x = 3, maka 2 x = 9
3) Tentukanlah kontraposisi dari pernyataan berikut:
a) Jika a3 : a3 = a0 , maka 0 a =1
b) Jika semua jeruk manis, maka jeruk ini harus manis
f. Kunci Jawaban Tes Formatif 3
1) Konvers dari pernyataan-pernyataan itu adalah:
a) Jika Tokyo di Jepang, maka Beijing di RRC
b) Jika SMK mempunyai laboratorium komputer, maka SMK
mempunyai jurusan RPL
2) Invers dari pernyataan-pernyataan itu adalah:
a) Jika bukan segitiga sama kaki, maka ketiga sudutnya tidak sama
b) Jika x ≠ 3, maka 2 x ≠ 9
3) Tentukanlah kontraposisi dari pernyataan berikut:
a) Jika 0 a ≠1, maka 3 3 0 a : a ≠ a
b) Jika jeruk ini tidak manis, maka tidak semua jeruk manis
g. Lembar Kerja Siswa 3
Dari kejadian sehari-hari yang pernah Anda alami, buatlah 3 pernyataanpernyataan
implikasi . kemudian carilah pernyataan yang ekivalen
dengan pernyataa-pernyataan itu!
4. Kegiatan Belajar 4 (Penarikan Kesimpulan/ Inferensi)
a. Tujuan Kegiatan Belajar 4
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, diharapkan Anda dapat:
1) Menjelaskan cara menarik kesimpulan dengan menggunakan prinsip
modus ponens, modus tollens, dan silogisma
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 4
1) Pengertian Argumen
Perhatikan beberapa contoh argumen berikut ini!
1. Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun (premis 1)
Harga barang naik (premis 2)
Jadi permintaan barang turun (konklusi)
2. Jika ∠A = 900 , maka sin A =1 (premis 1)
0 ∠A = 90 (premis 2)
Jadi sin A =1 (konklusi)
Dari contoh-contoh di atas, maka dapat kita rumuskan:
a) Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang
mempunyai ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan
kesimpulan”
b) Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis
(pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah
konklusi (kesimpulan).
2) Modus ponens, modus tollens, dan sillogisma
Sekarang kita akan membahas 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu
modus ponens, modus tollens, dan sillogisma.
1. Modus ponens
Modus ponens disebut juga kaidah pengasingan.
Bentuknya sebagai berikut:
p→q (premis 1) berupa implikasi
p (premis 2) berupa anteseden
--------
∴q (konklusi)
Keabsahan (sah atau tidaknya) sebuah argumen dapat dilihat melalui
tabel kebenaran.
Argumentasi ini sah karena untuk premis
p→q dan p benar, konklusi q juga benar.
2.
Contoh:
Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun
Harga barang naik
Jadi permintaan barang turun
3. Modus tollens
Modus tollens disebut juga kaidah penolakan.
Bentuknya sebagai berikut:
p→q (premis 1) berupa implikasi
ı q (premis 2) berupa negasi dari konsekuen
----------
∴ı p (konklusi)
Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:
p q p→q
B B B
B S S
S B B
S S B
Suatu argumentasi adalah sah jika pada setiap baris di mana
premis-premisnya benar, pada baris tersebut konklusinya juga
benar.
Argumen ini sah, karena untuk
premis p→q dan ı q benar,
konklusi ı p juga benar.
Contoh:
Persamaan 2 ax + 2x +1 = 0 , D > 0 , maka 1 x dan 2 x berlainan
1 x dan 2 x tidak berlainan
Jadi persamaan 2 ax + 2x +1 = 0 , D >/ 0
4. Silogisma
Bentuknya sebagai berikut:
p→q (premis 1) berupa implikasi
q→r (premis 2) berupa implikasi
----------
∴p→r (konklusi)
Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:
Argumen ini sah,
karena untuk premis
p→q dan q→r
benar, konklusi
p→r juga benar.
p q ı p ı q p→q
B B S S B
B S S B S
S B B S B
S S B B B
p q r p→q q→r p→r
B B B B B B
B B S B S S
B S B S B B
B S S S B S
S B B B B B
S B S B S B
S S B B B B
S S S B B B
Contoh:
Jika 5 2 5 2 2 : 2 = 2 − , maka 25 : 22 = 23
Jika 5 2 3 2 : 2 = 2 , maka 5 2 2 : 2 = 8
Jadi jika 5 2 5 2 2 : 2 2 − = , maka 5 2 2 : 2 = 8
c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 3
• Modus ponens, modus tollens, dan silogisma adalah contoh
argumentasi yang sah, yang kebenarannya dapat dan telah
dibuktikan.
• Modus ponens bentuknya:
p→q (premis 1) berupa implikasi
p (premis 2) berupa anteseden
--------
∴q (konklusi)
• Modus tollens bentuknya:
p→q (premis 1) berupa implikasi
ı q (premis 2) berupa negasi dari konsekuen
----------
∴ı p (konklusi)
• Silogisma bentuknya:
p→q (premis 1) berupa implikasi
q→r (premis 2) berupa implikasi
----------
∴p→r (konklusi)
Catatan:
1. Untuk mengetahui bahwa suatu argumentasi itu sah, kita perlu melihat
berbentuk apa argumen itu, apakah bernemtuk modus ponens, modus
tollens, atau berbentuk yang lainnyayang bila dikaji kebenarannya
sesuai dengan syarat keabsahan, apakah sah atau tidak.
2. Untuk menegetahui suatu argumentasi itu benar, kita perlu meninjau
apakah argumentasi itu sah dan apakah pernyataan-pernyataan dan
premis serta konklusinya benar. Jika salah satu atau keduanya tidak
dipenuhi, maka argumentasi itu salah.
d. Tugas Kegiatan Belajar 4
Diskusikan soal-soal pada LKS 4 dengan anggota kelompok Anda.
Kemudian presentasikan hasilnya sesuai dengan yang ditugaskan oleh
guru
e. Tes Formatif 3 (waktu 15 menit)
1) Tentukan sah atau tidakkah argumen beriku!
a) Jika pupuk itu cocok, maka tanaman itu tumbuh subur
Pupuk itu cocok
∴ tanaman itu tumbuh subur
b) Jika pupuk itu cocok, maka tanaman itu tumbuh subur
Pupuk tidak cocok
∴ tanaman itu tidak tumbuh subur
c) Jika pupuk itu cocok, maka tanaman itu tumbuh subur
Tanaman itu tumbuh subur
∴ pupuk itu cocok
2) Tentukan sah atau tidakkah argumen beriku! (Jika perlu buatlah tabel
kebenarannya)
a) p ∨ q
ı p
_____
∴q
b) p→q
ı p
_____
∴ı q
c) p
q
______
∴p ∧ q
f. Kunci Jawaban Tes Formatif 3
1) Argumen itu:
a) Sah menurut modus ponens
b) Tidak sah
c) Tidak sah
2) Argumen itu:
a) Sah
b) Tidak sah
c) Sah
Catatan: tunjukkan pembuktian melalui tabel kebenarannya!
g. Lembar Kerja Siswa 3
Carilah contoh beberapa kasus pengambilan kesimpulan yang benar dan
yang salah. Contoh kasus bisa diambil dari berbagai sumber seperti surat
kabar atau majalah, pernyataan-pernyataan langsung dari media televisi,
atau dari cerita fiktif kisah detektif (disarankan untuk membaca buku
novel atau cerita serial detektif “Sherlock Holmes” atau detektif
“Kindaichi”)

2) Pengertian Bilangan Real
Apakah bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita
mulai dengan beberapa sistem bilangan yang sederhana berikut ini.
Bilangan-bilangan bulat dan rasional
Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilanganbilangan
asli ( ı = Natural),
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 2
Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, teman-teman
kita, uang kita, dan lain sebagainya. Jika kita gandengkan negatifnya dan
nol, kita akan peroleh bilangan-bilangan bulat ( ı = dari bahasa Jerman,
Zahlen):
2, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 2
Bila kita mencoba mengukur panjang, berat benda, atau tegangan listrik,
bilangan-bilangan bulat tidak akan memadai. Bilangan ini terlalu kurang
untuk memeberikan ketelitian yang cukup dalam sebuah pengukuran.
Kita dituntut untuk juga mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari
bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan-bilangan seperti:
3 7 21 19 16 17
, , , , ,
4 8 5 2 2 1
− −

,2
Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk
m
n
, dimana m dan
n adalah bilangan bulat dan n ≠ 0 , disebut bilangan-bilangan rasional
( ı = Quotient ).
Apakah bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Fakta
yang mengejutkan ini ditemukan pertama kali oleh orang Yunani kuno
beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa
meskipun 2 merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku
dengan sisi 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi
17
dua bilangan bulat. Jadi 2 adalah suatu bilangan tak rasional
(irasional). Demikian juga 3 3, 5, 7,π
Jika kita belum terbiasa untuk bisa membedakan bilangan rasional dan
bilangan irasional secara langsung, maka ada satu ciri khusus yang yang
bisa kita jadikan pedoman untuk membedakan keduanya.
Sekarang, coba periksa dengan menggunakan kalkulator nilai dari
1 2
, , 2, .
7 3
π . Akan lebih bagus jika kalkulator yang digunakan memiliki
digit lebih banyak dibanding kalkulator biasa, atau Anda bisa
menggunakan kalkulator yang tersedia di dalam setiap program windows
di komputer Anda, yang ketelitiannya bisa mencapai 34 digit.
Setelah diperiksa, diperoleh sebagai berikut:
1
0,14285714285714285714285714285714
7
=
2
0,66666666666666666666666666666667
3
=
2 1, 414213562373095048801688724209= 7
π = 3,1415926535897932384626433832795
Apabila kita perhatikan, dua bilangan yang pertama yaitu
1
7
dan
2
3
memiliki bentuk desimal yang bilangan-bilangannya berulang dengan
urutan tertentu. Sedangkan dua bilangan terakhir yaitu 2 dan π (pi)
bentuk bilangan desimalnya tidak berulang (sembarang).
Coba periksa juga bilangan-bilangan lainnya, apakah termasuk bilangan
rasional ataukah irasional!
Bilangan-bilangan real
Sekumpulan bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur
panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol kita namakan
bilangan-bilangan real. Atau dengan kata lain, bilangan real adalah
bilangan yang dapat berkoresponden satu-satu dengan sebuah titik pada
18
garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi
lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan
atau kiri. Setiap titik pada garis bilangan mempunyai lambang yang
tunggal, disebut koordinat titik, dan garis bilangan yang dihasilkan diacu
sebagai garis real. Perhatikan gambar!
Kedudukan bilangan real dalam sistem bilangan dapat kita lihat dalam
diagram Gambar 1.1.
Pertanyaan
Dengan mengetahui anggota dari masing-masing himpunan bilangan
yang termasuk kelompok bilangan real, bagaimanakah hubungan masingmasing
himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan
rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks jika kita gambarkan dalam
diagram venn?
3) Operasi pada Bilangan Real
Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian
a) Operasi penjumlahan
Contoh:
1. 4 + 6 =10
2. 4 + (−6) = −2
3. −4 + 6 = 2
4. −4 + (−6) = −10
b) Operasi pengurangan
a + b = c dengan a,b, c∈ı
19
Contoh:
1. 6 − 4 = 2
2. 6 − (−4) = 6 + 4 =10
3. −6 − 4 = −6 + (−4) = −10
c) Operasi perkalian
Contoh:
1. 6⋅4 = 24
2. 6⋅ (−4) = −24
3. (−6)⋅ (−4) = 24
d) Operasi pembagian
Contoh:
1.
8 1
8 2
4 4
= × =
2.
4 1 5
4 : 4 20
1 5 1
5
= = ⋅ =
3.
1
1 1 2 1 3 3 1 : 1
2 3 1 2 1 2 2
3
= = ⋅ = =
4.
1
1 2 1 1 1 :3
2 3 2 3 6
= = × =
1
dengan , ,
a
a c a b c
b b
= ⋅ = ∈ı
a − b = c⇔a + (−b) = c dengan a,b,c∈ı
a ⋅b = c dengan a,b, c∈ı
20
Pengubahan pecahan ke desimal, desimal ke persen, dan
sebaliknya
a) Mengubah pecahan biasa ke desimal
Contoh:
1.
2 2 2 4
0,4
5 5 2 10
×
= = =
×
2.
5 5 4 20
0,2
25 25 4 100
×
= = =
×
3.
1 1 125 125
0,125
8 8 125 1000
×
= = =
×
b) Mengubah pecahan desimal ke persen
Contoh:
1. 0,3 = 0,3×100% = 30%
2. 0,05 = 0,05×100% = 5%
c) Mengubah persen ke pecahan dan sebaliknya
Contoh:
Nyatakan ke dalam pecahan atau ke dalam persen!
1.
25 1
25%
100 4
= =
2.
2 50
16
2 3 3 50 1 16 %
3 100 100 300 6
= = = =
3.
3 75
75%
4 100
= =
4.
1 20
20%
5 100
= =
Menghitung persentase
a) Komisi
Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat
penjualan yang dilakukan
Contoh:
21
Seorang salesman akan mendapatkan komisi sebesar 15 % jika ia
mampu menjual barang senilai Rp. 2.000.000,00. tentukan besarnya
komisi yang diterima?
Jawab:
Komisi =15%×Rp 2.000.000,00
15
Rp 2.000.000,00
100
= ×
= Rp 300.000,00
∴ Jadi besarnya komisi yang diterima oleh salesman itu
sebesarRp 300.000,00 .
b) Diskon
Diskon adalah potongan harga yang diberikan
Contoh:
Menjelang miladnya, sebuah toko serba ada memberikan diskon
sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja senilai Rp.
800.000,00, berapa kita harus membayar?
Jawab:
Diskon = 25%×Rp. 800.000,00
25
Rp. 800.000,00
100
= ×
= Rp. 200.000,00
∴ Jadi, kita harus membayar sebesar:
Rp. 800.000,00 − Rp. 200.000,00 = Rp. 600.000,00
c) Laba dan rugi
Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya
pembelian. Dirumuskan sebagai berikut:
Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya
pembelian. Rumusannya sebagai berikut:
Laba = Penjualan - Pembelian
Rugi = Pembelian - Penjualan
22
Contoh:
Sebuah barang dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual
dengan harga Rp. 2.400.000,00. Hitunglah persentase keuntungan
dari harga pembelian dan dari harga penjualan!
Jawab:
Laba =Rp. 2.400.000,00 Rp. 2.000.000,00 − = Rp. 400.000,00
Persentase keuntungan (laba) dari harga beli:
Rp. 400.000
% 100% 20%
Rp. 2.000.000
p = × =
Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan:
Rp. 400.000
% 100% 16,7%
Rp. 2.400.000
p = × =
4) Sifat-sifat operasi bilangan real
Waktu SMP kita sudah mengenal operasi-operasi yang berlaku pada
bilangan real berikut sifat-sifatnya, dan sekarang kita tengok kembali
sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan”
dan “perkalian”.
Untuk setiap a,b,c∈ı , beralku sifat-sifat berikut;
Penjumlahan:
1. Sifat tertutup pada penjumlahan;
a + b = r, r∈ı
2. Sifat komutatif pada penjumlahan
a + b = b + a
3. Sifat asosiatif pada penjumlahan
(a + b) + c = a + (b + c)
4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
( )
( )
(distributif kiri)
jika ada operasi perkalian
(distributif kanan)
a b c ab ac
b c a ab ac
+ = + 

+ = + 
23
5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau
elemen netral)
a + 0 = 0 + a = a
6. Sifat invers pada penjumlahan
a + (−a) = (−a) + a = 0
Perkalian:
1. Sifat tertutup pada perkalian
a×b = r, r∈ı
2. Sifat komutatif pada perkalian
a×b = b× a
3. Sifat asosiatif pada perkalian
(a×b)×c = a×(b×c)
4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
( )
( )
(distributif kiri)
jika ada operasi penjumlahan
(distributif kanan)
a b c ab ac
b c a ab ac
+ = + 

+ = + 
5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)
a×1 =1× a = a
6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai
invers.
1 1
a a 1
a a
× = × = (untuk a ≠ 0 )
1
0 1
0
× ≠ (tidak ada/tidak didefinisikan)
Catatan:
Untuk selanjutnya kita sepakati jangan sekali-kali membagi dengan nol,
karena kita tidak mungkin membuat pengertian dari lambang-lambang ini
c. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 1
24
• Bilangan-bilangan real adalah Sekumpulan bilangan (rasional dan
irasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan
negatifnya dan nol.
• Sifat-sifat operasi penjumlahan pada bilangan real diantaranya:
tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, identitas (0 adalah elemen
identitasnya), invers (lawan bilangannya).
• Sifat-sifat operasi perkalian pada bilangan real diantaranya: tertutup,
komutatif, asosiatif, distributif, identitas (1 adalah elemen identitasnya).
• Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat
penjualan yang dilakukan.
• Diskon adalah potongan harga yang diberikan.
• Laba diperoleh jika harga penjualan lebih dari harga atau biaya
pembelian.
• Rugi diderita jika harga penjualan kurang dari harga atau biaya
pembelian.
d. Tugas Kegiatan Belajar 1
Diskusikan soal-soal LKS 1 dengan anggota kelompok anda, kemudian
presentasikan hasilnya, sesuai dengan yang ditugaskan oleh guru.
e. Tes Formatif 1 (waktu 15 menit)
1. Nyatakan himpunan berikut dengan cara mendaftar semua
anggotanya!
a) A = {x 3 < x <10, x∈ı }
b) B = {x x ≥ −5, x∈ı }
c) C = {x 2 ≤ x <15, x∈bilangan prima}
2. Manakah bilangan di bawah ini yang termasuk bilangan rasional dan
bilangan irasional?
a) −5 b) 5
25
c)
1
5
d) 9
e) 1,3232
3. Nyatakan pecahan berikut ke dalam bentuk persen atau sebaliknya!
a)
3
5
b)
5
20
c) 12,5%
d) 175%
e)
1
3 %
4
4. Frodo menjual tanah pamannya, Mr. Bilbo, seharga Rp.
75.000.000,00. Jika Mr. Bilbo memberinya komisi
1
2 %
2
, berapakah
komisi yang diterima Frodo?
5. Berapa persen diskon yang diberikan “Toko Little S” jika harga
barang Rp. 2.500.000,00 bisa dibayar dengan harga Rp.
2.325.000,00?
f. Kunci Jawaban Tes Formatif 1
g. Lembar Kerja Siswa 1 (waktu 45 menit)
Dalam soal nomor 1-15, sederhanakan atau cari nilai dari bilanganbilangan
berikut. Sedikit manipulasi mungkin diperlukan sehingga
hasilnya akan lebih mudah diperoleh.
1. 3,056 − 5,301 =
2.
3 1 1
1 3 11
4 3 6
+ − =
3.
2 1
23 5
3 2
× =
4. 23,005×101,5 =
5.
3 1
4 : 2
5 10
=
6. 4,05: 0,001 =
7. 4 −3(8 −12) − 6 =
8. 2 3− 2(4 −8) =
9.
5 1 2
6 4 3
−  +  =  
 
10.
3 5 2
4 8 12
−  −  =  
 
11.
1 1 1 1
3 4 3 6
 −  + =  
 
12.
1 2 1 1
3 5 2 5
−  −  − =  
 
26
13.
1 3 7
2 4 8
1 3 7
2 4 8
− +
=
+ −
14.
2
1
1
2
2
− =
+
15.
2
2
1
2
2
+ =

2. Kegiatan Belajar 2 (Bilangan Berpangkat)
a. Tujuan Kegiatan Belajar 2
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar 2, Anda diharapkan :
1. Memiliki pemahaman tentang bilangan berpangkat
2. Dapat menyelesaikan soal-soal dengan menggunakan sifat-sifat
eksponen
3. Dapat menentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponen
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2
Bentuk pangkat, akar, dan logaritma bukan hal asing bagi kita. Kita
sudah mengenal dan mempelajarinya di SMP. Pada bab ini konsep
tersebut akan kita pelajari kembali tentu dengan beberapa
pengembangan.
Konsep-konsep tersebut tentunya akan bermanfaat sekali jika kita
pelajari dngan baik, sebab ada beberapa permasalahan dalam
kehidupan kita sehari-hari yang menggunakan konsep tersebut.
1) Bilangan Berpangkat (eksponen)
Kenyataan menunjukkan bahwa kebanyakan orang berkeinginan untuk
menggunakan cara yang paling simpel dalam berbagai hal, termasuk
cara menuliskan suatu bilangan.
Andai ditemukan kasus sebagai berikut. Anda diminta menuliskan cara
yang paling simpel untuk hal berikut!
a) 2×2× 2× 2×...× 2 (seratus kali)
27
b) 1×2×3×4×...×100 (sampai dengan 100)
c) 2×3×10×15× 43 (perkalian 5 bilangan sembarangan)
d) 1 2 3 100 x + x + x +...+ x (sampai dengan 100)
e) 1 2 3 100 x ⋅ x ⋅ x ⋅...⋅ x (sampai dengan 100)
Penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
a) Ditulis dengan cara eksponen, 100 3 (3 pangkat 100)
b) Ditulis dengan notasi faktorial, 100! (100 faktorial)
c) Tidak ada cara umum (tidak beraturan)
d) Ditulis dengan mengunakan notasi sigma,
100
1
i
i
x
= Σ
e) Ditulis dengan mengunakan notasi pi,
100
1
i
i
x π=
Dari keempat model cara penulisan singkat (bentuk umum) di atas, yang
akan kita pelajari sekarang adalah cara penulisan dalam bentuk
perpangkatan (eksponen).
Pengertian bilangan berpangkat
Kita ulangi cara penulisan seperti soal nomor (a) di atas.
3 2×2× 2 = 2
4 4×4×4× 4 = 4
5 a×a× a× a×a = a
Dari cara penulisan itu dapat kita simpulkan:
Keterangan:
n a dibaca a pangkat n
a (ruas kiri) disebut bilangan pokok, berasal dari a (ruas kanan)
yang disebut faktor.
n disebut eksponen (pangkat), menunjukkan banyaknya faktor a
n buah faktor a
... n a = a1⋅4a ⋅4a2⋅a4⋅ 4⋅3a ⋅
28
Selanjutnya a1 = a , dan nanti kita akan menemukan bahwa 0 a =1.
Sifat-sifat bilangan berpangkat
Contoh Generalisasi
1. 3 2 2 × 2 = 2⋅ 2⋅ 2× 2⋅2
3 2 2 = +
5 = 2
2. 5 3 2 2 2 2 2
2 : 2
2 2 2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
5 3 2 = −
2 = 2
3. ( )3
2 2 2 2 4 = 4 × 4 × 4
2 2 2 4 = + +
6 = 4
4. ( )3
2⋅ 4 = 2⋅4×2⋅ 4× 2⋅4
= 2⋅ 2⋅2× 4⋅4⋅ 4
3 5 = 2 × 2
5. ( )
3 3 3
3 3 2
2 2 2
4 4 2
  = =  
 
3
6 3
2 1 1
2 2 8
= = =
6.
3
3 3
3
2
2 : 2 1
2
= =
2 2 2
2 2 2
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
3 3 0 2 2 = − =
7.
3
3 5
5
2
2 : 2
2
=
2 2 2
2 2 2 2 2
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
m n m n a a a × = +
:
m
m n m n
n
a
a a a
a
= = −
( )n
p pn a = a
( )n n n a ⋅b = a b
0 ( ) a =1 a ≠ 0
1
n
n a
a
− =
; 0
n n
n
a a
b
b b
  = ≠  
 
29
3 5 2
2
1
2 2
2
= − = − =
8.
3
2 2 2 2 2
3
a3 a3 a3 a3 a 3 =a2
  ⋅
  = × × =
 
( )3
3 2 3 2 3 2 3 2 a = a × a × a
3 6 2 = a = a
2
a3 = 3 a2
Contoh:
Hitung atau sederhanakan bentuk berikut!
1. 5 3 11 ×11
2. 9 3 a × a
3.
7 5
1 1
5 5
  ×     
   
4. 3 10 b : b
5.
7 4
4 3
a b c
a b c
⋅ ⋅
⋅ ⋅
Jawab:
1. 5 3 5 3 8 11 11 11 11 × = + =
2. 9 3 9 3 12 a a a a × = + =
3.
7 5 7 5 12
12
12
1 1 1 1 1
5
5 5 5 5 5
+
  ×  =   =   = = −
       
4. 3 10 3 10 7 b : b b b = − = −
5.
7 4
7 4 1 3 4 1 3 2 3
4 3
a b c
a b c a b c
a b c
− − − − ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅
Persamaan eksponen
Definisi:
Persamaan eksponen adalah persamaan yang didalamnya terdapat eksponen
(pangkat) yang berbentuk suatu fungsi dalam x.
m
a n = n am
30
Cara penyelesaiannya:
Tipe 1
Contoh:
Selesaikan!
1. 2 1 9 5 5 x+ =
2.
2 4 1
5
125
x − x =
Jawab:
1. 2 1 9 5 5 2 1 9 x x + = ⇔ + =
⇔ 2x = 9 −1
8
4
2
⇔ x = =
∴HP = {4}
2.
2 2 4 4 3 1
5 5 5
125
x − x = ⇔ x − x = −
2 ⇔ x − 4x = −3
2 ⇔ x − 4x + 3 = 0
⇔( x −1)( x −3) = 0
1 2 ⇔ x =1; x = 3
∴HP = {1,3}
Tipe 2
Contoh:
Selesaikan!
1. 2 1 2 5 5 x+ = x−
2.
2 4 1
5
125
x − x =
Jawab:
f (x) p ( ) a = a ⇔ f x = p
( )
f (x) g(x) ( ) ( ) a = a ⇔ f x = g x
31
1. 52x+1 = 5x−2 ⇔ 2x +1 = x − 2
⇔ 2x − x = −2 −1
⇔ x = −3
∴HP = {−3}
2. ( )
2 2 3 4
6 2 6
1 1
5 5
25 5
x x x x
x x
− −
− − = ⇔ =
2 3 2(6 ) 5 5 ⇔ x − x = − −x
2 ( ) ⇔ x −3x = −2 6 − x
2 ⇔ x − 3x = −6 + 2x
2 ⇔ x −3x − 2x + 6 = 0
2 ⇔ x − 5x + 6 = 0
⇔( x − 2)( x − 3) = 0
⇔ x = 2 atau x = 3
∴HP = {2,3}
c. Rangkuman :
• Bilangan berpangkat (eksponen) didefinisikan sebagai:
n buah faktor a
... n a = a1⋅4a ⋅4a2⋅a4⋅ 4⋅3a ⋅
a (ruas kiri) disebut bilangan pokok, berasal dari a (ruas kanan) yang
disebut faktor.
n disebut eksponen (pangkat), menunjukkan banyaknya faktor a
• Sifat-sifat ekponen diantaranya:
m n m n a a a × = +
:
m
m n m n
n
a
a a a
a
= = −
( )n
p pn a = a
( )n n n a ⋅b = a b
; 0
n n
n
a a
b
b b
  = ≠  
 
0 ( ) a =1 a ≠ 0

1
n
n a
a
− =

m
a n = n am
32
• Cara menyelesaikan persamaan eksponen:
Tipe 1: f (x) p ( ) a = a ⇔ f x = p
Tipe 2:
f (x) g(x) ( ) ( )



Rumus trigonometri

Rumus trigonometri umum
 
Sudut-Sudut Istimewa sin cos tan 0 30 45 60 90 derajat

Aturan sin cos tan lain


Rumus-rumus Trigonometri pada segitiga dengan sisi a b c
Aturan sinus

Aturan Cosinus

Luas Segitiga 2 sisi dan 1 sudut

Luas segitiga dengan 3 sisi akan dibahas lain waktu
Rumus jumlah 2 sudut trigonometri sin cos tan

sepertinya gambar ini ada yang salah, nanti diperbaiki
Sudut 2A atau sin 2x, cos 2x, tan 2x
Rumus kali trigonometri sin cos cos sin cos cos -sin sin
Rumus jumlah 2 trigonometri sin cos cos sin cos cos -sin sin
Persamaan Trigonometri mudah sekali dikerjakan
Bentuk a Cos x + b Sin x = k cos x-teta
Bentuk a Cos x + b Sin x = c
Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi f(x) =a Cos x + b Sin x






Fungsi trigonometrik adalah fungsi dari sebuah sudut yang digunakan untuk menghubungkan antara sudut-sudut dalam suatu segitiga dengan sisi-sisi segitiga tersebut.
Fungsi trigonometrik diringkas di tabel di bawah ini. Sudut θ adalah sudut yang diapit oleh sisi miring dan sisi samping -- sudut A pada gambar di samping, a adalah sisi depan, b adalah sisi samping, dan c adalah sisi miring:
Fungsi
Singkatan
Deskripsi
Identitas (memggunakan radian)
sin
\frac {\textrm{a}} {\textrm{c}}

cos
\frac {\textrm{b}} {\textrm{c}}
\cos \theta \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - 
\theta \right) \equiv \frac{1}{\sec \theta}\,
tan (atau tg)
\frac {\textrm{a}} {\textrm{b}}
\tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos 
\theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv 
\frac{1}{\cot \theta} \,
cot (atau ctg atau ctn)
\frac {\textrm{b}} {\textrm{a}}
\cot \theta \equiv \frac{\cos \theta}{\sin 
\theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv 
\frac{1}{\tan \theta} \,
sec
\frac {\textrm{c}} {\textrm{b}}
\sec \theta \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - 
\theta \right) \equiv\frac{1}{\cos \theta} \,
csc (atau cosec)
\frac {\textrm{c}} {\textrm{a}}
\csc \theta \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - 
\theta \right) \equiv\frac{1}{\sin \theta} \,


Top of Form
Bottom of Form
Home http://uptsma3smd.net/templates/rhuk_milkyway/images/arrow.pngPembelajaran http://uptsma3smd.net/templates/rhuk_milkyway/images/arrow.pngKelasX http://uptsma3smd.net/templates/rhuk_milkyway/images/arrow.pngPerbandingan trigonometri
Main Menu

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
Kelas / Semester : X / 2 (DUA)
Pengantar
Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, yakni “ tigonos “ yang artinya adalah segitiga, dan “metron” yang artinya adalah ukuran.Dengan demikian berarti trigonometri berarti ukuran-ukuran segitiga yakni menentukan panjang sisi, besar sudut, garis tinggi, garis bagi, garis berat, luas dan perbandingan sisi-sisinya.
http://uptsma3smd.net/images/stories/perbandingan%20trigonometri.jpg
http://uptsma3smd.net/images/stories/perbandingan%20trigonometri2.jpg
http://uptsma3smd.net/images/stories/perbandingan%20trigonometri3.jpg
http://uptsma3smd.net/images/stories/perbandingan%20trigonometri4.jpg
http://uptsma3smd.net/images/stories/perbandingan%20trigonometri5.jpg
http://uptsma3smd.net/images/stories/perbandingan%20trigonometri7.jpg